设 $a,b,c\in\mathbb R^{\ast}$，若 $(a+b+c)\left(\dfrac1a+\dfrac{1}{b+c}\right)\geqslant k$ 恒成立，则 $k$ 的最大值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
由柯西不等式$$(a+b+c)\left(\dfrac1a+\dfrac{1}{b+c}\right)\geqslant 4.$$当且仅当 $a=1,b+c=1$ 时，等号成立，因此 $ (a+b+c)\left(\dfrac1a+\dfrac{1}{b+c}\right)$ 的最小值为 $4$，$k$ 的最大值为 $4$．
题目
答案
解析
备注
