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椭圆中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，椭圆上的一点 $P$ 和两个焦点 $F_1,F_2$，连线的夹角 $\angle F_1PF_2=120^\circ$，且点 $P$ 到两准线的距离分别为 $2$ 和 $6$，则椭圆的方程为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{x^2}{13}+\dfrac{16y^2}{39}=1$
B: $\dfrac{x^2}{13}+\dfrac{y^2}{3}$
C: $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{13y^2}{39}=1$
D: $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{6}=1$
【难度】
【出处】
2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
分别设椭圆的半长轴，半短轴，半焦距为 $a,b,c$，根据题意有$$2+6=\dfrac{2a^2}{c},$$即$$\dfrac {a^2}{c}=4.$$根据椭圆第二定义易知，$$\dfrac{PF_1}{PF_2}=\dfrac13,$$设$$PF_2=3PF_1=3k,k> 0,$$则由余弦定理$$F_1F_2=\sqrt{k^2+9k^2+3k^2}=\sqrt{13}k,$$所以$$\dfrac {c}{a}=\dfrac{F_1F_2}{PF_1+PF_2}=\dfrac{\sqrt{13}k}{k+3k}=\dfrac{\sqrt{13}}{4},$$所以$$a=\dfrac{a^2}{c}\cdot\dfrac ca=\sqrt{13},$$进而$$c=\dfrac {13}{4},b=\dfrac{\sqrt{39}}{4},$$所以所求椭圆方程为$$\dfrac{x^2}{13}+\dfrac{16y^2}{39}=1.$$
题目 答案 解析 备注
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