已知：如图 ①，在平行四边形 $ABCD$ 中，$AB=3 \ {\mathrm {cm}}$，$BC=5 \ {\mathrm {cm}}$．$AC\perp AB$．$\triangle ACD$ 沿 $AC$ 的方向匀速平移得到 $\triangle PNM$，速度为 $1 \ {\mathrm {cm}}{/}{\mathrm s}$；同时，点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿 $CB$ 方向匀速运动，速度为 $1 \ {\mathrm {cm}}{/}{\mathrm s}$，当 $\triangle PNM$ 停止平移时，点 $Q$ 也停止运动．如图 ②，设运动时间为 $t\left({\mathrm s}\right)\left(0<t<4\right)$．
解答下列问题：
解答下列问题：
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
是否存在某一时刻 $t$，使 $S_{\triangle QMC}:S_{四边形ABQP}=1:4$？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．标注答案因为 $PM\parallel BC$，
所以 ${S_{\triangle PQC}} = {S_{\triangle MQC}}$．
若 $S_{\triangle QMC}:S_{四边形 ABQP}=1:4$，则 $S_{\triangle QMC}:S_{\triangle ABC}=1:5$，
即：$ - \dfrac{3}{10}{t^2} + \dfrac{6}{5}t = \dfrac{1}{5} \times 6$，整理得：${t^2} - 4t + 4 = 0$，解得 $t = 2$．
答：当 $t=2$ 时，$S_{\triangle QMC}:S_{四边形 ABQP}=1:4$．解析略 -
是否存在某一时刻 $t$，使 $PQ\perp MQ$？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．标注答案若 $PQ \perp MQ$，则 $\angle MQP=\angle PDQ=90^\circ $．
因为 $MP\parallel BC$，
所以 $\angle MPQ=\angle PQD$，
所以 $\triangle MQP\backsim \triangle PDQ$，
所以 $\dfrac{PM}{PQ} = \dfrac{PQ}{DQ}$，
所以 $PQ^2 = PM \times DQ$，
即：$PD^2 + DQ^2 = PM \times DQ$，由 $CD = \dfrac{16 - 4t}{5}$，
所以 $DQ = CD-CQ = \dfrac{16 - 9t}{5}$，
故 ${\left(\dfrac{12 - 3t}{5}\right)^2} + {\left(\dfrac{16 - 9t}{5}\right)^2} = 5 \times \dfrac{16 - 9t}{5}$，整理得 $2{t^2} - 3t = 0$，
解得 $t_1=0$（舍），$t_2=\dfrac 32$．
答：当 $t = \dfrac{3}{2}$ 时，$PQ \perp MQ$．解析略
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
