已知正数 $a,b,c$ 满足 $2a+4b+7c\leqslant 2abc$，求 $a+b+c$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ \dfrac{15}{2} $
【解析】
根据已知条件有$$c\geqslant\dfrac{2a+4b}{2ab-7},$$从而$$a+b+c\geqslant a+b+\dfrac{2a+4b}{2ab-7},$$等号当且仅当 $c=\dfrac{2a+4b}{2ab-7}$ 时取得．
再考虑 $b$，视 $a$ 为参数，有\[\begin{split}a+b+\dfrac{2a+4b}{2ab-7}&=a+b+\dfrac 2a+\dfrac{\dfrac{14}{a}+2a}{2ab-7}\\&=a+\dfrac{11}{2a}+\dfrac{2ab-7}{2a}+\dfrac{\dfrac{14}{a}+2a}{2ab-7}\\&\geqslant a+\dfrac{11}{2a}+2\sqrt{\dfrac{7}{a^2}+1},\end{split}\]等号当且仅当$$\dfrac{2ab-7}{2a}=\dfrac{\dfrac{14}{a}+2a}{2ab-7}$$时取得．
令$$f(a)=a+\dfrac{11}{2a}+2\sqrt{\dfrac{7}{a^2}+1},a>0,$$则$$f'(a)=1-\dfrac{11}{2a^2}-\dfrac{14}{a^2\sqrt{a^2+7}},$$从而 $f(a)$ 在 $a=3$ 时取得最小值 $f(3)=\dfrac{15}{2}$．
综上，当 $a=3$，$b=\dfrac 52$，$c=2$ 时，$a+b+c$ 取得最小值 $\dfrac{15}2$．
再考虑 $b$，视 $a$ 为参数，有\[\begin{split}a+b+\dfrac{2a+4b}{2ab-7}&=a+b+\dfrac 2a+\dfrac{\dfrac{14}{a}+2a}{2ab-7}\\&=a+\dfrac{11}{2a}+\dfrac{2ab-7}{2a}+\dfrac{\dfrac{14}{a}+2a}{2ab-7}\\&\geqslant a+\dfrac{11}{2a}+2\sqrt{\dfrac{7}{a^2}+1},\end{split}\]等号当且仅当$$\dfrac{2ab-7}{2a}=\dfrac{\dfrac{14}{a}+2a}{2ab-7}$$时取得．
令$$f(a)=a+\dfrac{11}{2a}+2\sqrt{\dfrac{7}{a^2}+1},a>0,$$则$$f'(a)=1-\dfrac{11}{2a^2}-\dfrac{14}{a^2\sqrt{a^2+7}},$$从而 $f(a)$ 在 $a=3$ 时取得最小值 $f(3)=\dfrac{15}{2}$．
综上，当 $a=3$，$b=\dfrac 52$，$c=2$ 时，$a+b+c$ 取得最小值 $\dfrac{15}2$．
答案
解析
备注
