已知 $a,b>0$ 且 $a+b=1$，求 $3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{40+9b^2}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$5\sqrt{11}$
【解析】
设函数 $f(x)=3\sqrt{1+2x^2}$，$g(x)=2\sqrt{40+9x^2}$，则有$$f'(x)=\dfrac{12x}{\sqrt{1+2x^2}},g'(x)=\dfrac{36x}{\sqrt{40+9x^2}}.$$取这两个函数平行的切线，有$$\dfrac{12a}{\sqrt{1+2a^2}}=\dfrac{36b}{\sqrt{40+9b^2}},$$即$$\dfrac{40}{9b^2}-\dfrac{1}{a^2}=1,$$又 $a+b=1$，解得 $a=\dfrac 13$，$b=\dfrac 23$，进而可得$$\begin{split} &3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{40+9b^2}\\\geqslant &\dfrac{12}{\sqrt{11}}\left(a-\dfrac 13\right)+\sqrt{11} +\dfrac{12}{\sqrt{11}}\left(b-\dfrac 23\right)+4\sqrt{11}\\=&5\sqrt{11},\end{split}$$因此所求的最小值为 $5\sqrt{11}$．
答案
解析
备注
