设 ${F_1}$，${F_2}$ 分别是椭圆 $E :\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}= 1\left(a > b > 0\right)$ 的左、右焦点，过点 ${F_1}$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A$，$B$ 两点，$\big|A{F_1}\big| = 3 \big|B{F_1}\big|$．
【难度】
【出处】
2014年高考安徽卷（文）
【标注】
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若 $|AB| = 4$，$\triangle AB{F_2}$ 的周长为 $16$，求 $|A{F_2}|$；标注答案$\big|AF_2\big|=5$解析根据已知条件，$\triangle ABF_2$ 的周长为长轴长的两倍，于是 $2a=8$，从而$$\big|AF_2\big|=2a-\big|AF_1\big|=8-3=5.$$
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若 $\cos \angle A{F_2}B = \dfrac{3}{5}$，求椭圆 $E$ 的离心率．标注答案离心率 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt 2}2$解析设 $\big|BF_1\big|=m$，$\big|AF_1\big|=3m$，则$$\big|AF_2\big|=2a-3m,\big|BF_2\big|=2a-m.$$在 $\triangle AF_2B$ 中应用余弦定理，得$$\big|AB\big|^2=\big|AF_2\big|^2+\big|BF_2\big|^2-2\big|AF_2\big|\cdot\big|BF_2\big|\cdot\cos\angle AF_2B,$$即$$(4m)^2=(2a-3m)^2+(2a-m)^2-2(2a-3m)(2a-m)\cdot\dfrac 35,$$解得 $a=3m$．
于是 $\big|AF_1\big|=\big|AF_2\big|=3m$，因此 $\triangle AF_1F_2$ 为等腰直角三角形，进而离心率 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt 2}2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
