一条直线与双曲线交于 $A,B$ 两点，与此双曲线的渐近线交于 $C,D$ 两点，证明：线段 $AC$ 与 $BD$ 的长度相等．
【难度】
【出处】
2016年北京大学全国优秀中学生暑期夏令营试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
以双曲线的中心为原点，以实轴所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系，则双曲线与它的渐近线方程可以表示为$$\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac {y^2}{b^2}=\lambda,$$其中 $\lambda=1$ 时为双曲线，$\lambda=0$ 时为渐近线．
设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)$，则有$$\begin{cases} \dfrac {x_1^2}{a^2}-\dfrac {y_1^2}{b^2}=1,\\\dfrac {x_2^2}{a^2}-\dfrac {y_2^2}{b^2}=1,\end{cases}$$两式相减得$$\dfrac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}-\dfrac {(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}=0,$$同样有$$\dfrac{(x_3-x_4)(x_3+x_4)}{a^2}-\dfrac {(y_3-y_4)(y_3+y_4)}{b^2}=0,$$因为 $A,B,C,D$ 四点共线，当此直线斜率不存在或者斜率为零时，由双曲线的对称性得 $AC=BD$；当此直线的斜率 $k$ 存在且不为零时，有$$\dfrac {y_1+y_2}{x_1+x_2}=\dfrac {y_3+y_4}{x_3+x_4}=-\dfrac {b^2}{a^2k},$$即 $AB$ 的中点与 $CD$ 的中点在过原点的同一条直线上，所以它们重合，从而有 $AC=BD$．
设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)$，则有$$\begin{cases} \dfrac {x_1^2}{a^2}-\dfrac {y_1^2}{b^2}=1,\\\dfrac {x_2^2}{a^2}-\dfrac {y_2^2}{b^2}=1,\end{cases}$$两式相减得$$\dfrac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}-\dfrac {(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}=0,$$同样有$$\dfrac{(x_3-x_4)(x_3+x_4)}{a^2}-\dfrac {(y_3-y_4)(y_3+y_4)}{b^2}=0,$$因为 $A,B,C,D$ 四点共线，当此直线斜率不存在或者斜率为零时，由双曲线的对称性得 $AC=BD$；当此直线的斜率 $k$ 存在且不为零时，有$$\dfrac {y_1+y_2}{x_1+x_2}=\dfrac {y_3+y_4}{x_3+x_4}=-\dfrac {b^2}{a^2k},$$即 $AB$ 的中点与 $CD$ 的中点在过原点的同一条直线上，所以它们重合，从而有 $AC=BD$．
答案
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