题目 设函数 $f(x)=\ln (x+1)+a\left(x^2-x\right)$，其中 $a\in\mathbb R$． 问题1 讨论函数 $f(x)$ 极值点的个数，并说明理由； 答案1 函数 $f(x)$ 的极值点个数为 $\begin{cases}0,&0\leqslant a\leqslant \dfrac 89,\\1,&a<0,\\2,&a>\dfrac 89.\end{cases}$ 解析1 根据题意，有$$f'(x)=\dfrac{1}{x+1}+a(2x-1).$$当 $a=0$ 时，函数 $f(x)$ 显然没有极值点．<br/>当 $a\neq 0$ 时，令 $f'(x)=0$，则有$$\dfrac 1a=-(2x-1)(x+1),$$如图．<img src="/static/images/e85474b117d91e2befbaebebfbe8a10f.png" class="img-responsive" />于是函数 $f(x)$ 的极值点个数为$$\begin{cases}0,&\dfrac 1a\geqslant\dfrac 98,\\1,&\dfrac 1a<0,\\2,&0<\dfrac 1a<\dfrac 98.\end{cases}$$综上所述，函数 $f(x)$ 的极值点个数为$$\begin{cases}0,&0\leqslant a\leqslant \dfrac 89,\\1,&a<0,\\2,&a>\dfrac 89.\end{cases}$$ 备注1 当 $\dfrac 1a=\dfrac 98$ 时，$f'(x)$ 两侧的函数值的符号不会发生变号，因此不为极值点． 问题2 若 $\forall x>0,f(x)\geqslant 0$ 成立，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $[0,1]$ 解析2 注意到当 $x\to 0+$ 时，$f(x)\to 0$，于是 $f'(0+)\geqslant 0$，于是有 $a\leqslant 1$．又注意到当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)<x+a(x^2-x)$，于是有 $a\geqslant 0$．<br/>下面证明 $a$ 在 $[0,1]$ 上符合题意．<br/>当 $x\geqslant 1$ 时，显然有$$f(x)\geqslant \ln (x+1)\geqslant 0;$$当 $0\leqslant x<1$ 时，有$$f(x)\geqslant \ln (x+1)+x^2-x,$$令 $g(x)=\ln (x+1)+x^2-x$，则$$g'(x)=\dfrac{1}{x+1}+2x-1=\dfrac{2x^2+x}{x+1}\geqslant 0,$$于是$$f(x)\geqslant 0.$$综上，$a$ 的取值范围是 $[0,1]$． 备注2