已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率 $e=\dfrac 12$，过焦点且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆截得的线段长为 $3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆的方程；标注答案$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$解析根据题意，通径长 $\dfrac{2b^2}{a}=3$，于是椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$．
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斜率为 $\dfrac 12$ 的动直线 $l$ 与椭圆交于 $A,B$ 两点，在平面上是否存在定点 $P$，使得当直线 $PA$ 与直线 $PB$ 的斜率均存在时，斜率之和是与 $l$ 无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案$\left(1,\dfrac 32\right)$ 或 $\left(-1,-\dfrac 32\right)$解析将椭圆仿射为圆，则直线 $A'B'$ 的斜率为 $\dfrac{\sqrt 3}3$，于是点 $Q'\left(-1,\sqrt 3\right)$ 始终平分弧 $A'B'$，进而可取 $P'\left(1,\sqrt 3\right)$，此时 $\angle A'P'Q'=\angle B'P'Q'$，因此直线 $P'A'$ 与直线 $P'B'$ 的斜率始终互为相反数，符合题意．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
