已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率 $e=\dfrac 12$，过焦点且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆截得的线段长为 $3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆的方程；标注答案$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$解析根据题意，通径长 $\dfrac{2b^2}{a}=3$，于是椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$．
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斜率为 $\dfrac 12$ 的动直线 $l$ 与椭圆交于 $A,B$ 两点，在平面上是否存在定点 $P$，使得当直线 $PA$ 与直线 $PB$ 的斜率均存在时，斜率之和是与 $l$ 无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案$\left(1,\dfrac 32\right)$ 或 $\left(-1,-\dfrac 32\right)$解析设 $l:y=\dfrac 12x+t$，与椭圆方程联立得$$x^2+tx+t^2-3=0.$$设 $A\left(x_1,\dfrac 12x_1+t\right),B\left(x_2,\dfrac 12x_2+t\right)$，则有$$x_1+x_2=-t,x_1x_2=t^2-3.$$直线 $PA,PB$ 的斜率之和\[\begin{split} k_{PA}+k_{PB}=&\dfrac {\left(m-\dfrac 12x_1-t\right)(m-x_2)+\left(n-\dfrac 12x_2-t\right )(m-x_1)}{(m-x_1)(m-x_2)}\\=&\dfrac {\left(n-\dfrac 32m\right )t+2mn-3}{t^2+mt+m^2-3}.\end{split}\]当 $n=\dfrac 32m,2mn=3$ 时斜率的和恒为 $0$，解得\[\begin{cases} m=1,\\n=\dfrac 32.\end{cases}\lor\begin{cases} m=-1,\\n=-\dfrac 32.\end{cases}\]综上所述，所有满足条件的定点 $P$ 的坐标为 $\left(1,\dfrac 32\right)$ 或 $\left(-1,-\dfrac 32\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
