已知 $a>0$，函数 $f(x)={\rm e}^{ax}\sin x$（$x\in [0,+\infty)$）．记 $x_n$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $n$（$n\in\mathbb N^*$）个极值点，证明：
【难度】
【出处】
无
【标注】
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数列 $\left\{f(x_n)\right\}$ 是等比数列；标注答案略解析根据题意，有$$f'(x)={\rm e}^{ax}\left( a\sin x+\cos x\right),$$于是$$a\sin x_n+\cos x_n=0,$$解得$$x_n=n\pi-\arctan \frac 1a,n\in\mathbb N^*.$$记 $\varphi=\arctan\dfrac 1a$，则$$f(x_n)={\rm e}^{a\left(n\pi-\varphi\right)}\sin\left(n\pi-\varphi\right)=-\left(-{\rm e}^{a\pi}\right)^n\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}\cdot {\rm e}^{-a\varphi},$$因此数列 $\left\{f(x_n)\right\}$ 是公比为 $-{\rm e}^{a\pi}$ 的等比数列．
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若 $a\geqslant\dfrac{1}{\sqrt{{\rm e}^2-1}}$，则对一切 $n\in \mathbb N^*$，$x_n<\left|f(x_n)\right|$ 恒成立．标注答案略解析用分析法，根据题意\[\begin{split}x_n<\left|f(x_n)\right|&\Leftrightarrow n\pi-\varphi<\left|{\rm e}^{a\left(n\pi-\varphi\right)}\sin\left(n\pi-\varphi\right)\right|\\&\Leftrightarrow n\pi-\varphi<{\rm e}^{a\left(n\pi-\varphi\right)}\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\\&\Leftrightarrow \sqrt{1+a^2}\cdot\left(n\pi-\varphi\right)<{\rm e}^{a\left(n\pi-\varphi\right)} ,\end{split}\]令 $t=a\left(n\pi-\varphi\right)$，则只需要证明$$\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}\cdot t<{\rm e}^t.$$事实上，很容易证明当 $t>0$ 时，不等式$${\rm e}^t>{\rm e} t$$成立，而由已知条件又有$$\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}<{\rm e},$$因此原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
