设 $f_n\left(x\right)$ 是等比数列 $1,x,x^2,\cdots,x^n$ 的各项和，其中 $x>0$，$n\in \mathbb N$，$n\geqslant 2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
证明：函数 $F_n\left(x\right)=f_n\left(x\right)-2$ 在 $\left(\dfrac 12,1\right)$ 内有且仅有一个零点（记为 $x_n$），且 $x_n=\dfrac 12+\dfrac 12x_n^{n+1}$；标注答案略解析根据已知，有 $F_n(x)=x+x^2+\cdots+x^n-1$，于是$$F_n\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 12+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}-1=-\dfrac{1}{2^n}<0,$$而 $F_n(1)=n-1>0$，所以 $F_n(x)$ 在 $\left(\dfrac 12,1\right)$ 上有零点．
另一方面，考虑到在 $\left(\dfrac 12,1\right)$ 上$$F_n'(x)=1+2x+\cdots+nx^{n-1}>0,$$因此函数 $F_n(x)$ 在 $\left(\dfrac 12,1\right)$ 上单调递增．
综上所述，函数 $F_n(x)$ 在 $\left(\dfrac 12,1\right)$ 内有且仅有一个零点．
由 $x_n+x_n^2+\cdots+x_n^n-1=0$，其中 $\dfrac 12<x_n<1$，可得$$\dfrac{x_n-x_n^{n+1}}{1-x_n}-1=0,$$整理即得 $x_n=\dfrac 12+\dfrac 12x_n^{n+1}$． -
设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 $g_n\left(x\right)$，比较 $f_n\left(x\right)$ 和 $g_n\left(x\right)$ 的大小，并加以证明．标注答案$f_n(x)<g_n(x)$解析当 $x=1$ 时 $f_n(x)=g_n(x)$；当 $x\neq 1$ 时 $f_n(x)<g_n(x)$，证明如下．
根据题意描述，$n\geqslant 2$．
当 $x\neq 1$ 时，考虑\[\begin{split}h_n(x)&=f_n(x)-g_n(x)\\&=1+x+x^2+\cdots+x^n-\frac{n+1}{2}\left(1+x^n\right)\\
&=\dfrac 12\left[(1+x^n)+(x+x^{n-1})+\cdots +(x^n+1)-(n+1)\cdot(1+x^n)\right]\\
&=\dfrac 12\sum_{k=1}^{n-1}\left[x^k+x^{n-k}-(1+x^n)\right]\\
&=\dfrac 12\sum_{k=1}^{n-1}\left[(x^k-1)(1-x^{n-k})\right]\\
&<0,\end{split}\]因此命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
