在椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 中，直线 $l$ 与椭圆交于 $A,B$ 两点，直线 $AB$ 不过点 $P(2,0)$，且以 $AB$ 为直径的圆恒过点 $P(2,0)$，求证：直线 $AB$ 恒过定点，并求该定点的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac 27,0\right)$
【解析】
利用仿射变换，使得 $P$ 点为新坐标系的原点，则此时椭圆方程为$$\dfrac{\left(x'+2\right)^2}{4}+\dfrac{y'^2}3=1,$$设直线方程为 $mx'+ny'=1$，化齐次联立可得$$\dfrac{x'^2}4+\dfrac{y'^2}3+x'\cdot \left(mx'+ny'\right)=0,$$整理得$$\dfrac 13\left(\dfrac {y'}{x'}\right)^2+n\cdot\dfrac {y'}{x'}+m+\dfrac 14=0,$$因为 $PA\perp PB$，故关于 $\dfrac {y'}{x'}$ 的方程的两根之积为 $-1$，从而有$$\dfrac 14+\dfrac 13+m=0,$$即$$\left(-\dfrac{12}7\right)m+0\cdot n=1,$$于是直线恒过点 $Q'\left(-\dfrac{12}7,0\right)$，对应原坐标系的定点为 $Q\left(\dfrac 27,0\right)$．
答案
解析
备注
