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在椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 中，直线 $l$ 与椭圆交于 $A,B$ 两点，直线 $AB$ 不过点 $P(2,0)$，且以 $AB$ 为直径的圆恒过点 $P(2,0)$，求证：直线 $AB$ 恒过定点，并求该定点的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线的定点定值问题
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    交点曲线系
    >
    二次曲线系
【答案】
$\left(\dfrac 27,0\right)$
【解析】
椭圆方程为 $3x^2+4y^2-12=0$，设直线 $AP,BP$ 方程分别为$$x+my-2=0,mx-y-2m=0,$$于是相交直线 $AP,BP$ 的方程为$$(x+my-2)(mx-y-2m)=0,$$根据题意，它们的交点曲线系为$$3x^2+4y^2-12+\lambda (x+my-2)(mx-y-2m)=0,$$即$$3x^2+4y^2-12+\lambda\left[-my^2+m(x-2)^2+\left(m^2-1\right)(x-2)y\right]=0,$$我们想把 $P(2,0)$ 从方程中分离出来，取 $\lambda =\dfrac 4m$，则有$$(x-2)\left[3(x+2)+4(x-2)+\dfrac{4\left(m^2-1\right)}my\right]=0,$$于是可得直线 $AB$ 的方程为$$7x+\dfrac{4\left(m^2-1\right)}my-2=0,$$于是直线 $AB$ 恒过定点 $\left(\dfrac 27,0\right)$．
答案 解析 备注
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