已知椭圆 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$ 上两个不同的点 $A,B$ 关于直线 $y=mx+\dfrac 12$ 对称．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求实数 $m$ 的取值范围；标注答案$m$ 的取值范围为 $\left(-\infty ,-\dfrac{\sqrt 6}3\right)\cup\left(\dfrac{\sqrt 6}3,+\infty \right)$解析设线段 $AB$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$．
由 $A,B$ 两点均在椭圆上，有$$\dfrac{x_1^2}{2}+y_1^2=1,\dfrac{x_2^2}2+y_2^2=1,$$两式相减，并应用平方差公式，可得$$\dfrac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}2+(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0,$$于是$$\left(x_0-\dfrac{2y_0}{m}\right)\cdot (x_1-x_2)=0,$$又根据椭圆的对称性，$x_1\neq x_2$，于是$$x_0-\dfrac{2y_0}{m}=0,$$又点 $M$ 在直线 $y=mx+\dfrac 12$ 上，于是$$y_0=mx_0+\dfrac 12,$$从而可以解得 $x_0=-\dfrac 1m$，$y_0=-\dfrac 12$．
实数 $m$ 的取值范围由不等式$$\dfrac{\left(-\dfrac 1m\right)^2}2+\left(-\dfrac 12\right)^2<1$$确定，解得 $m$ 的取值范围为 $\left(-\infty ,-\dfrac{\sqrt 6}3\right)\cup\left(\dfrac{\sqrt 6}3,+\infty \right)$． -
求 $\triangle AOB$ 面积的最大值（$O$ 为坐标原点）．标注答案$\triangle AOB$ 的面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}2$解析作伸缩变换 $\begin{cases} x'=x,\\y'=\sqrt 2y,\end{cases}$ 则椭圆变为圆 $x'^2+y'^2=2$，直线 $l:y=mx+\dfrac 12$ 变为 $l':y'=\sqrt 2m\cdot x'+\dfrac{\sqrt 2}2$，且有 $S_{\triangle A'OB'}=\sqrt 2S_{\triangle AOB}$．根据第（1）小题的结论，点 $M'$ 在直线 $y'=-\dfrac{\sqrt 2}2$ 上，于是由 $m$ 的取值范围可得 $|OM'|$ 的取值范围是$$\dfrac{\sqrt 2}2< |OM'|<\sqrt 2,$$于是三角形 $A'OB'$ 的面积$$S_{\triangle A'OB'}=\dfrac 12|A'B'|\cdot |OM'|=\sqrt {|OM'|^2\cdot\left(2-|OM'|^2\right)}\leqslant 1,$$等号当且仅当 $|OM'|=1$ 时取得，因此 $\triangle AOB$ 的面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
