题目 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_{n+1}=ca_n+c^{n+1}(2n+1)$，$n\in\mathbb N^*$，其中实数 $c\ne 0$． 问题1 求 $\{a_n\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=\left(n^2-1\right)c^n+c^{n-1},n\in\mathbb N^*.$ 解析1 根据题意，有$$\dfrac{a_{n+1}}{c^{n+1}}=\dfrac{a_n}{c^n}+2n+1,$$于是可求得 $\dfrac{a_n}{c^n}=n^2-1+\dfrac 1c$，进而可得$$a_n=\left(n^2-1\right)c^n+c^{n-1},n\in\mathbb N^*.$$ 备注1 问题2 若对一切 $k\in\mathbb N^*$ 有 $a_{2k}>a_{2k-1}$，求 $c$ 的取值范围． 答案2 $\left(-\infty,-\dfrac{1+\sqrt{13}}6\right)\cup\left[1,+\infty\right)$ 解析2 题意即题意即$$\forall k\in\mathbb N^*,4\left(c^2-c\right)k^2+4ck-c^2+c-1>0,$$记 $f(x)=4(c^2-c)x^2+4cx-c^2+x-1$，对称轴为 $x=-\dfrac 1{2(x-1)}$，先探究必要条件：<br/>令 $k=1$ 得$$f(1)=3c^2+c-1>0,$$解得 $c>\dfrac {-1+\sqrt{13}}{2}$ 或 $c<-\dfrac {1+\sqrt{13}}{2}$；<br/>又 $c^2-c\geqslant 0$，解得 $c\geqslant 1$ 或 $c\leqslant 0$，对 $c=0,1$ 分别验证知 $c\geqslant 1$ 或 $c<0$．<br/>于是有 $c<-\dfrac {1+\sqrt{13}}{2}$ 或 $c\geqslant 1$，下面证明当 $c$ 在这个范围内时，不等式恒成立：<br/>当 $c\geqslant 1$ 时，$f(x)$ 的对称轴 $x=-\dfrac 1{2(c-1)}<0$，所以 $f(1)>0$ 可以保证当 $x\geqslant 1$ 时，$f(x)>0$；<br/>当 $c<-\dfrac {1+\sqrt{13}}{2}$ 时，$f(x)$ 的对称轴 $x=-\dfrac 1{2(c-1)}<\dfrac 12$，所以 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，从而 $f(1)>0$ 可以保证当 $x\geqslant 1$ 时，$f(x)>0$；<br/>综上知 $c$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac{1+\sqrt{13}}6\right)\cup\left[1,+\infty\right)$． 备注2 含参的不等式问题中，变换主元、分离参数以及端点分析都是常用的方法．