题目 证明一下命题： 问题1 对任一正整数 $a$，都存在正整数 $b,c\left(b < c\right)$，使得 ${a^2}$，${b^2}$，${c^2}$ 成等差数列； 答案1 略 解析1 $a^{2}+c^{2}=2b^{2}$，即 $(a+b)(b-c)=(b+c)(b-c)$，设 $\begin{cases}a+b=\dfrac{p}{q}\cdot (b+c)\\ a-b=\dfrac{q}{p}\cdot (b-c)\end{cases}$，其中 $p,q$ 均为整数，则解得 $\begin{cases}a=p^{2}+2pq-q^{2}\\ b=p^{2}+q^{2}\\ c=p^{2}-2pq-q^{2}\end{cases}$，这样就得到了所有整数解 $(a,b,c)$．<br/>取 $q=1,p=2$，则 $b=5a,c=7a$ 符合题意； 备注1 问题2 存在无穷多个互不相似的三角形 ${\triangle _n}$，其边长 ${a_n}$，${b_n}$，${c_n}$ 为正整数且 $a{}_n^2$，$b{}_n^2$，$c{}_n^2$ 成等差数列． 答案2 略 解析2 取 $q=1,q=k$ 可以调整 $\begin{cases}a=k^{2}-2k-1\\ b=k^{2}=1\\ c=k^{2}+2k-1\end{cases}$，$k>4$ 时其满足题意，容易证明这样的三角形均不相似． 备注2 类似的，我们可以得到所有的勾股数 $\begin{cases}a=m^{2}+n^{2}\\ b=2mn\\ c=m^{2}-n^{2}\end{cases}$，并得到一个有趣的命题．所有勾股数中的弦长都是两个正整数的平方和．