设 $\alpha,\beta$ 均为锐角，满足 $\sin^2 \alpha+\sin^2 \beta=\sin(\alpha+\beta)$，求 $\alpha+\beta$ 的值．
【难度】
【出处】
2016年北京大学全国优秀中学生暑期夏令营试题
【标注】
【答案】
$\dfrac {\mathrm \pi} {2}$
【解析】
显然当 $\alpha +\beta =\dfrac {\mathrm \pi} {2}$ 时，等式成立；
由已知条件知$$\sin^2\alpha +\sin^2\beta=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta,$$整理得$$\sin\alpha (\sin\alpha -\cos\beta)=\sin\beta(\cos\alpha -\sin\beta).$$若 $\alpha +\beta\ne\dfrac {\mathrm \pi} {2}$，则有 $\sin\alpha-\cos\beta$ 与 $\cos\alpha-\sin\beta$ 同号，若同正，则有$$\sin\alpha>\cos\beta=\sin\left(\dfrac {\mathrm \pi} {2}-\beta\right ),\cos\alpha =\sin\left(\dfrac {\mathrm \pi} {2}-\alpha \right )>\sin\beta,$$从而有$$\alpha >\dfrac {\mathrm \pi} {2}-\beta,\dfrac {\mathrm \pi} {2}-\alpha >\beta,$$无解；若同负，用同样的方式也推导矛盾．
综上，$\alpha +\beta=\dfrac {\mathrm \pi} {2}$．
由已知条件知$$\sin^2\alpha +\sin^2\beta=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta,$$整理得$$\sin\alpha (\sin\alpha -\cos\beta)=\sin\beta(\cos\alpha -\sin\beta).$$若 $\alpha +\beta\ne\dfrac {\mathrm \pi} {2}$，则有 $\sin\alpha-\cos\beta$ 与 $\cos\alpha-\sin\beta$ 同号，若同正，则有$$\sin\alpha>\cos\beta=\sin\left(\dfrac {\mathrm \pi} {2}-\beta\right ),\cos\alpha =\sin\left(\dfrac {\mathrm \pi} {2}-\alpha \right )>\sin\beta,$$从而有$$\alpha >\dfrac {\mathrm \pi} {2}-\beta,\dfrac {\mathrm \pi} {2}-\alpha >\beta,$$无解；若同负，用同样的方式也推导矛盾．
综上，$\alpha +\beta=\dfrac {\mathrm \pi} {2}$．
答案
解析
备注
