题目 已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1\in\mathbb N^*$，$a_1\leqslant36$，且$$a_{n+1}=\begin{cases}2a_n,&a_n\leqslant18,\\2a_n-36,&a_n>18\end{cases}(n=1,2,\cdots).$$记集合 $M=\left\{a_n|n\in\mathbb N^*\right\}$． 问题1 若 $a_1=6$，写出集合 $M$ 的所有元素； 答案1 集合 $M$ 的所有元素为 $6,12,24$ 解析1 当 $a_1=6$ 时，数列按以下规律变化：$$6\to 12\to 24 \to 12 \to 24\to\cdots$$因此集合 $M$ 的所有元素为 $6,12,24$． 备注1 问题2 若集合 $M$ 存在一个元素是 $3$ 的倍数，证明：$M$ 的所有元素都是 $3$ 的倍数； 答案2 略 解析2 容易推出<br/>\textbf{引理1}\qquad 若 $3|a_n$，则 $3|a_{n+1}$．<br/>\textbf{引理2}\qquad 如果 $3\nmid a_n$，则 $3\nmid a_{n+1}$．<br/>于是若集合 $M$ 中存在一个元素为 $3$ 的倍数，也即存在某个 $a_p$ 能被 $3$ 整除，那么由\textbf{引理1}，当 $n\geqslant p$ 时，$3|a_n$．接下来用反证法证明当 $n<p$ 时，$3|a_n$．<br/>若不然，设存在 $a_q$，$q<p$ 且 $3\nmid a_q$，则由\textbf{引理2}，当 $n\geqslant q$ 时，$3\nmid a_n$，而 $3|a_p$，矛盾．<br/>因此原命题得证． 备注2 问题3 求集合 $M$ 的元素个数的最大值． 答案3 集合 $M$ 的元素个数的最大值为 $8$ 解析3 首先证明 $M$ 的元素个数不可能多于 $8$．<br/>容易知道，$1\leqslant a_n\leqslant 36,n\in\mathbb N^*$ 且当 $n\geqslant 3$ 时，$4|a_n$．接下来利用这一性质讨论不同的初值下，数列 $\{a_n\}$ 中的第 $3$ 项以及以后的项在集合 $M$ 中产生的新元素．<br/>若 $3|a_1$，则由\textbf{引理1}，对任意 $n\in\mathbb N^*$ 有 $3|a_n$，于是 $12|a_n$，即 $a_n\in\left\{12,24,36\right\}$（$n\geqslant 3$），此时 $M$ 的元素个数不可能多于 $5$；<br/>若 $3\nmid a_1$，则由\textbf{引理2}，对任意 $n\in\mathbb N^*$ 有 $3\nmid a_n$，于是 $a_n\in\left\{4,8,16,20,28,32\right\}$（$n\geqslant 3$），此时 $M$ 的元素个数不可能多于 $8$．<br/>综上，$M$ 中的元素个数不可能多于 $8$．<br/>事实上，取 $a_1=1$，则有 $M=\left\{1,2,4,8,16,32,28,20\right\}$ 恰好含有 $8$ 个元素，因此所求集合 $M$ 的元素个数的最大值为 $8$． 备注3