已知等差数列 $\{a_n\}$ 中（$a_n\in \mathbb Z$，$n\in \mathbb N^{\ast}$），$a_1=5$，$a_2=b$，则 $a_n\ne 0$ 的充要条件为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
由题可知等差数列的公差为 $b-5$，若等差数列不存在值为零的项，则$$\forall n\in{\mathbb N^{\ast}},5+(n-1)(b-5)\ne 0.$$即$$\forall n\in {\mathbb N^{\ast}},n\ne \dfrac 5{5-b}+1,$$所以$$5-b\ne 1\land 5-b\ne 5,$$即$$b\ne 4 \land b\ne 0.$$当 $b\ne 4 \land b\ne 0$ 时，易知$$\dfrac 5{5-b}+1\notin \mathbb N^{\ast},$$所以对任意的正整数 $n$，当 $b\ne 4\land b\ne 0$ 时，均有$$5+(n-1)(b-5)\ne 0.$$故 $a_n\ne 0$ 的充要条件为 $b\ne 0\land b\ne 4$．
题目
答案
解析
备注
