求 $f(x)=|x-1|+\dfrac{1}{\sqrt 2}\left|x-2\right|+\dfrac{1}{\sqrt 3}\left|x-3\right|+\cdots +\dfrac{1}{\sqrt{2016}}|x-2016|$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$f(521)$
【解析】
容易知道当 $x=k$ 时 $f(x)$ 取得最小值，其中 $k$ 是满足$$\begin{cases} 1+\dfrac{1}{\sqrt 2}+\cdots +\dfrac{1}{\sqrt {k-1}}\leqslant \dfrac 12\left(1+\dfrac{1}{\sqrt 2}+\cdots +\dfrac{1}{\sqrt {2016}}\right),\\ 1+\dfrac{1}{\sqrt 2}+\cdots +\dfrac{1}{\sqrt {k-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{k}}\geqslant \dfrac 12\left(1+\dfrac{1}{\sqrt 2}+\cdots +\dfrac{1}{\sqrt {2016}}\right),\end{cases}$$的正整数．
暴力计算 由于 $\displaystyle \dfrac 12\sum\limits_{k=1}^{2016}\dfrac{1}{\sqrt k}\approx 44.1753$，而$$\sum\limits_{k=1}^{520}\dfrac{1}{\sqrt k}\approx 44.1686,\sum\limits_{k=1}^{521}\dfrac{1}{\sqrt k}\approx 44.2124,$$因此 $k=521$，于是 $f(521)\approx 44527.89457$ 为所求最小值．
放缩估计 事实上，当 $n\geqslant 3$ 时，有$$1+\dfrac{1}{\sqrt 2}+2\left(\sqrt{n+\dfrac{25}{48}}-\sqrt {3-\dfrac {23}{48}}\right)<\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}<1+\dfrac{1}{\sqrt 2}+2\left(\sqrt{n+\dfrac 12}-\sqrt {\dfrac 52}\right),$$估计出$$44.1715<\sum\limits_{k=1}^{2016}\dfrac{1}{\sqrt k}<44.1779.$$类似的，可以计算出$$\sum\limits_{k=1}^{519}\dfrac{1}{\sqrt k}<44.1299,44.1615<\sum\limits_{k=1}^{520}\dfrac{1}{\sqrt k}<44.1738,\sum\limits_{k=1}^{521}\dfrac{1}{\sqrt k}>44.2053,$$于是最小值点为 $x=521$，因此最小值为 $f(521)$．
答案
解析
备注
