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求 $M=\sin^210^\circ+\cos^240^\circ+\sin 10^\circ\cos 40^\circ$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    和差角公式
  • 题型
    >
    三角
    >
    求三角代数式的值
【答案】
$\dfrac 34$
【解析】
和差角公式一根据题意，有\[\begin{split} M&=\cos^2 (60^\circ+20^\circ)+\cos^2(60^\circ-20^\circ)+\cos (60^\circ+20^\circ)\cos (60^\circ-20^\circ)\\
&=\dfrac 12\cos^220^\circ+\dfrac 32\sin ^220^\circ+\dfrac 14\cos^220^\circ-\dfrac 34\sin^220^\circ\\
&=\dfrac 34.\end{split}\]和差角公式二根据题意，有\[\begin{split} M&=\sin^2 10^\circ+\cos^2(30^\circ+10^\circ)+\sin 10^\circ\cos(30^\circ+10^\circ)\\
&=\sin^210^\circ+\dfrac 34\cos^210^\circ-\dfrac{\sqrt 3}2\sin 10^\circ\cos 10^\circ+\dfrac 14\sin ^210^\circ+\dfrac{\sqrt 3}2\sin 10^\circ\cos 10^\circ-\dfrac 12\sin^210^\circ\\
&=\dfrac 34.\end{split}\]
答案 解析 备注
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