已知函数 $f(x)=a-\dfrac{1}{x}-\ln x$，其中 $a\in\mathbb R$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $a=2$，求 $f(x)$ 在 $\left(1,{\mathrm e}^2\right)$ 上零点的个数；标注答案$ 1 $解析记函数 $g(x)=\dfrac 1x + \ln x$，则$$g'(x)=\dfrac{x-1}{x^2},$$于是可得函数 $g(x)$ 的图象如图．
于是当 $a=2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(1,{\mathrm e}^2\right)$ 上有一个零点； -
若 $f(x)$ 恰有一个零点，求 $a$ 的取值集合；标注答案$\{1\}$解析若 $f(x)$ 恰有一个零点，$a$ 的取值集合为 $\{1\}$．
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若 $f(x)$ 有两个零点 $x_1 x_2$，且 $x_1<x_2$，求证：$2<x_1+x_2<3{\mathrm e}^{a-1}-1$．标注答案略解析
左边不等式 令 $g(x)=\dfrac{1}{x}+\ln x$，证明$$\forall t\in (0,1),g(1-t)>g(1+t)$$即可．事实上，有$$g(1-t)-g(1+t)=\dfrac{2t}{1-t^2}+\ln\dfrac{1-t}{1+t},$$考虑到$$\left(\dfrac{2t}{1-t^2}+\ln\dfrac{1-t}{1+t}\right)'_t=\dfrac{4t^2}{\left(1-t^2\right)^2}>0,$$于是左边不等式得证．右边不等式 令 $x_0={\mathrm e}^{a-1}$，则 $1+\ln x_0-a=0$，于是可知 $x_0$ 是函数$$h(x)=1+x\ln x -ax$$的极小值点．根据题意，有$$x_1<x_0<x_2,$$于是$$\dfrac{x_1}{x_0}<1<\dfrac{x_2}{x_0},$$应用我们熟知的不等式$$\forall x\in (0,1),\ln x<\dfrac{2(x-1)}{x+1},\quad \forall x>1,\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1},$$可得$$\ln\dfrac{x_1}{x_0}<\dfrac{2(x_1-x_0)}{x_1+x_0},\quad \ln\dfrac{x_2}{x_0}>\dfrac{2(x_2-x_0)}{x_2+x_0}.$$又$$\ln x_1=a-\dfrac{1}{x_1}=1+\ln x_0-\dfrac{1}{x_1},$$从而有$$\ln\dfrac{x_1}{x_0}=1-\dfrac 1{x_1},$$同理有$$\ln\dfrac{x_2}{x_0}=1-\dfrac 1{x_2},$$这样就有$$1-\dfrac{1}{x_1}<\dfrac{2(x_1-x_0)}{x_1+x_0},\quad 1-\dfrac{1}{x_2}>\dfrac{2(x_2-x_0)}{x_2+x_0},$$从而可得$$(3x_1-1)x_0-x_1^2-x_1<0<(3x_2-1)x_0-x_2^2-x_2,$$即$$3(x_2-x_1)x_0-(x_2-x_1)(x_2+x_1+1)>0,$$两边同除以 $x_2-x_1$，即得$$x_1+x_2<3x_0-1=3{\mathrm e}^{a-1}-1,$$于是右边不等式得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
