如图，$O$ 为坐标原点，椭圆 ${C_1}:\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}= 1$（$a > b > 0$）的左、右焦点分别为 ${F_1},{F_2}$，离心率为 ${e_1}$；双曲线 ${C_2}:\dfrac{x^2}{a^2}- \dfrac{y^2}{b^2}= 1$ 的左、右焦点分别为 ${F_3},{F_4}$，离心率为 ${e_2}$．已知 ${e_1}{e_2}= \dfrac{\sqrt 3}{2}$，且 $\left|{{F_2}{F_4}}\right| = \sqrt 3 - 1$．
【难度】
【出处】
2014年高考湖南卷（理）
【标注】
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求 ${C_1},{C_2}$ 的方程；标注答案椭圆 $C_1$ 的方程为 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$，双曲线 $C_2$ 的方程为 $\dfrac{x^2}2-y^2=1$解析根据题意，有$$\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}a\cdot\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}a=\dfrac {\sqrt 3}2,\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt 3-1,$$解得 $a=\sqrt 2$，$b=1$，因此椭圆 $C_1$ 的方程为 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$，双曲线 $C_2$ 的方程为 $\dfrac{x^2}2-y^2=1$．
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过 ${F_1}$ 作 ${C_1}$ 的不垂直于 $y$ 轴的弦 $AB$，$M$ 为弦 $AB$ 的中点．当直线 $OM$ 与 ${C_2}$ 交于 $P,Q$ 两点时，求四边形 $APBQ$ 面积的最小值．标注答案四边形 $APBQ$ 面积的最小值为 $2$解析设直线 $AB:x=my-1$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$P(x_3,y_3)$，$Q(x_4,y_4)$，显然有 $x_1+x_2\neq 0$．
由 $\dfrac{x_1^2}2+y_1^2=1$，$\dfrac{x_2^2}2+y_2^2=1$ 两式相减，并应用平方差公式可变形得$$\dfrac{y_1+y_2}{x_1+x_2}=-\dfrac 12\cdot\dfrac{x_1-x_2}{y_1-y_2},$$因此直线 $OM$ 的斜率 $\dfrac{y_1+y_2}{x_1+x_2}=-\dfrac 12m$，于是直线 $PQ$ 的方程为 $y=-\dfrac 12mx$．
联立直线 $AB$ 的方程与椭圆 $C_1$ 的方程，可得$$(m^2+2)y^2-2my-1=0.$$联立直线 $PQ$ 的方程与双曲线 $C_2$ 的方程，可得$$\left(2-m^2\right)x^2=4.$$根据题意，记点 $P,Q$ 到直线 $AB$ 的距离分别为 $d(P,AB),d(Q,AB)$，则四边形 $APBQ$ 的面积\[\begin{split}S_{APBQ}&=\dfrac 12\cdot|AB|\cdot \left[d(P,AB) +d(Q,AB)\right]\\
&=\dfrac12 \cdot\sqrt{1+m^2}\cdot|y_1-y_2|\cdot\left(\dfrac{|x_3-my_3+1|}{\sqrt{1+m^2}}+\dfrac{|x_4-my_4+1|}{\sqrt{1+m^2}}\right)\\
&=\dfrac12 \cdot\sqrt{1+m^2}\cdot|y_1-y_2|\cdot\dfrac{|x_3-x_4-m(y_3-y_4)|}{\sqrt{1+m^2}}\\
&=\dfrac12 \cdot\sqrt{1+m^2}\cdot|y_1-y_2|\cdot\dfrac{\left|\left(1+\dfrac 12m^2\right)(x_3-x_4)\right|}{\sqrt{1+m^2}}\\
&=\dfrac12\cdot\sqrt{1+m^2}\cdot \dfrac{\sqrt{8(1+m^2)}}{m^2+2}\cdot \dfrac{2+m^2}{2\sqrt{1+m^2}}\cdot \dfrac{\sqrt{16(2-m^2)}}{|2-m^2|}\\
&=2\sqrt 2\cdot \sqrt{\dfrac{m^2+1}{2-m^2}}\\
&=2\sqrt 2\cdot \sqrt{-1+\dfrac{3}{2-m^2}}\\
&\geqslant 2,
\end{split}\]等号当且仅当 $m=0$ 时取得．因此四边形 $APBQ$ 面积的最小值为 $2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
