偶函数 $f(x)$（$x\in \mathbb R$）满足：$f(-4)=f(1)=0$，在区间 $[0,3]$ 与 $[3,+\infty)$ 上分别递减和递增，则不等式 $x^3f(x)<0$ 的解集为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
因为 $f(x)$ 为偶函数，在 $[0,3]$ 和 $[3,+\infty)$ 上分别递减和递增，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,-3]$ 递减，在 $(-3,0)$ 递增．结合 $f(-4)=f(1)=0$ 可得 $f(4)=f(-1)=0$．
不等式$$x^3f(x)<0$$同解于$$\begin{cases}x>0,\\f(x)<0\end{cases}\lor \begin{cases}x<0,\\f(x)>0,\end{cases}$$所以$$x<-4\lor -1<x<0\lor 1<x<4.$$所以原不等式的解集为 $(-\infty,-4)\cup(-1,0)\cup(1,4)$．
不等式$$x^3f(x)<0$$同解于$$\begin{cases}x>0,\\f(x)<0\end{cases}\lor \begin{cases}x<0,\\f(x)>0,\end{cases}$$所以$$x<-4\lor -1<x<0\lor 1<x<4.$$所以原不等式的解集为 $(-\infty,-4)\cup(-1,0)\cup(1,4)$．
题目
答案
解析
备注
