求证：$\dfrac{\cos\alpha}{1+\sin \alpha}-\dfrac{\sin \alpha}{1+\cos\alpha}=\dfrac{2(\cos\alpha-\sin\alpha)}{1+\sin\alpha+\cos\alpha}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\begin{eqnarray*}\begin{split} LHS&=\dfrac{\cos\alpha(1+\cos\alpha)-\sin\alpha(1+\sin\alpha)}{(1+\sin\alpha)(1+\cos\alpha)}\\
&=\dfrac{(\cos\alpha-\sin\alpha)(1+\sin\alpha+\cos\alpha)}{1+\sin\alpha+\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha}\\
&=\dfrac{2(\cos\alpha-\sin\alpha)(1+\sin\alpha+\cos\alpha)}{1+2\sin\alpha+2\cos\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}\\
&=\dfrac{2(\cos\alpha-\sin\alpha)(1+\sin\alpha+\cos\alpha)}{(1+\sin\alpha+\cos\alpha)^2}\\
&=RHS,\end{split} \end{eqnarray*}因此原命题得证．
&=\dfrac{(\cos\alpha-\sin\alpha)(1+\sin\alpha+\cos\alpha)}{1+\sin\alpha+\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha}\\
&=\dfrac{2(\cos\alpha-\sin\alpha)(1+\sin\alpha+\cos\alpha)}{1+2\sin\alpha+2\cos\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}\\
&=\dfrac{2(\cos\alpha-\sin\alpha)(1+\sin\alpha+\cos\alpha)}{(1+\sin\alpha+\cos\alpha)^2}\\
&=RHS,\end{split} \end{eqnarray*}因此原命题得证．
答案
解析
备注
