在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $P\left(1,\dfrac 32\right)$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=1$ 上一点，直线 $l$ 过椭圆 $C$ 的右焦点，且与椭圆相交于 $A,B$ 两点，求 $\triangle ABP$ 三边所在的直线的斜率乘积的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{9}{64}$
【解析】
根据题意，有 $P\left(2\cos\dfrac{\pi}3,\sqrt 3\sin\dfrac{\pi}3\right)$，设 $A\left(2\cos 2\alpha,\sqrt 3\sin 2\alpha\right)$，$B\left(2\cos 2\beta,\sqrt 3\sin 2\beta\right)$．由于 $AB$ 过点 $(1,0)$，于是$$\tan\alpha\cdot \tan\beta=-\dfrac 13,$$进而所求斜率的乘积为\begin{eqnarray*}\begin{split} t&=\left[-\dfrac{\sqrt 3}2\cdot \dfrac{1}{\tan\left(\alpha+\dfrac{\pi}6\right)}\right]\cdot \left[-\dfrac{\sqrt 3}2\cdot \dfrac{1}{\tan\left(\beta+\dfrac{\pi}6\right)}\right]\cdot \left[-\dfrac{\sqrt 3}2\cdot \dfrac{1}{\tan(\alpha+\beta)}\right]\\
&=-\dfrac{ 3\sqrt 3}8\cdot \dfrac{\left(1-\dfrac{\sqrt 3}3\tan\alpha\right)\left(1-\dfrac{\sqrt 3}3\tan\beta\right)\left(1-\tan\alpha\tan\beta\right)}{\left(\tan\alpha+\dfrac{\sqrt 3}3\right)\left(\tan\beta+\dfrac{\sqrt 3}3\right)\left(\tan\alpha+\tan\beta\right)}\\
&=\dfrac{\dfrac {\sqrt 3}2\left(\tan\alpha+\tan\beta\right)-\dfrac 43}{\left(\tan\alpha+\tan\beta\right)^2}\\
&\leqslant \dfrac{9}{64}
,\end{split} \end{eqnarray*}等号当 $\tan\alpha+\tan\beta=\dfrac{16\sqrt 3}{9}$ 时取得．因此所求的斜率乘积的最大值为 $\dfrac{9}{64}$．
&=-\dfrac{ 3\sqrt 3}8\cdot \dfrac{\left(1-\dfrac{\sqrt 3}3\tan\alpha\right)\left(1-\dfrac{\sqrt 3}3\tan\beta\right)\left(1-\tan\alpha\tan\beta\right)}{\left(\tan\alpha+\dfrac{\sqrt 3}3\right)\left(\tan\beta+\dfrac{\sqrt 3}3\right)\left(\tan\alpha+\tan\beta\right)}\\
&=\dfrac{\dfrac {\sqrt 3}2\left(\tan\alpha+\tan\beta\right)-\dfrac 43}{\left(\tan\alpha+\tan\beta\right)^2}\\
&\leqslant \dfrac{9}{64}
,\end{split} \end{eqnarray*}等号当 $\tan\alpha+\tan\beta=\dfrac{16\sqrt 3}{9}$ 时取得．因此所求的斜率乘积的最大值为 $\dfrac{9}{64}$．
答案
解析
备注
