题目 已知圆 $C:x^2+y^2-2x-2y+1=0$，直线 $l:y=kx$，点 $M(0,b)$．直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $P,Q$ 两点，且 $MP\perp MQ$． 问题1 当 $b=1$ 时，求 $k$ 的值； 答案1 $1$ 解析1 圆 $C$ 即 $(x-1)^2+(y-1)^2=1$．当 $b=1$ 时，点 $M\in C$，于是直线 $l$ 经过圆心 $(1,1)$，所以 $k=1$； 备注1 问题2 当 $b\in (1,2)$ 时，求 $k$ 的取值范围． 答案2 $(1,+\infty)$ 解析2 过直线 $l$ 与圆 $C$ 交点 $P,Q$ 的圆系设为$$E:x^2+y^2-2x-2y+1+\lambda(kx-y)=0,$$即$$E:x^2+y^2+(\lambda k-2)x-(\lambda +2)y+1=0.$$若 $MP\perp MQ$，则圆 $E$ 的圆心为 $PQ$ 的中点，且点 $M$ 在圆 $E$ 上，于是$$\begin{cases} \dfrac{\lambda+2}2=k\cdot \dfrac{2-\lambda k}2,\\ b^2-(\lambda+2)b+1=0,\end{cases}$$从而可得$$\lambda=\dfrac{2k-2}{k^2+1},$$于是$$b^2-\dfrac{2k+2k^2}{k^2+1}b+1=0,$$分离变量可得$$b+\dfrac 1b=\dfrac{2k^2+2k}{k^2+1},$$从而由 $b\in (1,2)$，可得 $b+\dfrac 1b\in \left(2,\dfrac 52\right)$，进而$$2<\dfrac{2k^2+2k}{k^2+1}<\dfrac 52,$$解得 $k$ 的取值范围是 $(1,+\infty)$． 备注2