用双曲线的第一定义证明反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象是双曲线．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
观察反比例函数的图象，我们猜想 $(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 是它的两个顶点，$x$ 轴与 $y$ 轴是它的两条渐近线，于是焦点应该为 $A(\sqrt 2,\sqrt 2)$ 和 $B(-\sqrt 2,-\sqrt 2)$，设点 $P\left(x_{0},\dfrac{1}{x_{0}}\right)$ 是反比例函数图象上的任意一点，则\[\begin{split}||PA|-|PB||&=\left|\sqrt{(x_{0}-\sqrt 2)^{2}+\left(\dfrac{1}{x_{0}}-\sqrt 2\right)^{2}}-\sqrt{(x_{0}+\sqrt 2)^{2}+\left(\dfrac{1}{x_{0}}+\sqrt 2\right)^{2}}\right|\\&=\left|\sqrt{\left(x_{0}+\dfrac{1}{x_{0}}-\sqrt 2\right)^{2}}-\sqrt{\left(\dfrac{1}{x_{0}}+\sqrt 2\right)^{2}}\right|\\&=\left|\left|x_{0}+\dfrac{1}{x_{0}}-\sqrt 2\right|-\left|x_{0}+\dfrac{1}{x_{0}}+\sqrt 2\right|\right|\\&=2\sqrt 2.\end{split}\]所以原命题得证．
答案
解析
备注
