利用抛物线的定义证明二次函数 $y=ax^2+bx+c$（$a\ne 0$）的图象是抛物线，并指出其焦点坐标和准线方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据二次函数图象的特点，猜测抛物线的焦点为 $F\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^{2}+1}{4a}\right)$，准线为 $l:y=\dfrac{4ac-b^{2}-1}{4a}$（因为 $\dfrac{1}{2p}=a,\dfrac{p}{2}=\dfrac{1}{4a}$）．设点 $P(x_{0},ax_{0}^{2}+bx_{0}+c)$ 是抛物线上任意一点，要证\[|PF|=d(P,l),\]则需证\[\sqrt{\left(x_{0}+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}+\left(ax_{0}^{2}+bx_{0}+c-\dfrac{4ac-b^{2}+1}{4a}\right)^{2}}=ax_{0}^{2}+bx_{0}+c-\dfrac{4ac-b^{2}-1}{4a},\]即证\[\sqrt{\left(x_{0}+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}+\left(ax_{0}^{2}+bx_{0}+\dfrac{b^{2}-1}{4a}\right)^{2}}=ax_{0}^{2}+bx_{0}+\dfrac{b^{2}+1}{4a}.\]两边平方后易得证，于是原命题成立．
答案
解析
备注
