圆 ${x^2}+{y^2}= 4$ 的切线与 $x$ 轴正半轴，$y$ 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 $P$（如图）．
【难度】
【出处】
2014年高考辽宁卷（文）
【标注】
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求点 $P$ 的坐标；标注答案$\left(\sqrt 2,\sqrt 2\right)$解析设圆 $x^2+y^2=4$ 的切线为 $x_0x+y_0y=4$，切点为 $(x_0,y_0)$ 满足$$x_0^2+y_0^2=4,x_0>0,y_0>0,$$则所围成的三角形面积为$$\dfrac 12\cdot \dfrac{4}{x_0}\cdot \dfrac{4}{y_0}=\dfrac{2\left(x_0^2+y_0^2\right)}{x_0y_0}=2\left(\dfrac{x_0}{y_0}+\dfrac{y_0}{x_0}\right),$$于是当 $x_0=y_0=\sqrt 2$ 时，该三角形的面积最小．
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焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $C$ 过点 $P$，且与直线 $l:y = x + \sqrt 3$ 交于 $A,B$ 两点，若 $\triangle PAB$ 的面积为 $2$，求 $C$ 的标准方程．标注答案$\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1$解析设椭圆 $C$ 的方程为 $mx^2+ny^2=1$（$0<m<n$），$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$．
由于椭圆 $C$ 过点 $P$，因此 $m\cdot(\sqrt 2)^2+n\cdot(\sqrt 2)^2=1$，即 $m+n=\dfrac 12$．
联立直线 $y=x+\sqrt 3$ 与椭圆 $C:mx^2+ny^2=1$，可得$$(m+n)x^2+2\sqrt 3nx+3n-1=0,$$即$$\dfrac 12x^2+2\sqrt 3nx+3n-1=0,$$因此$$|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{(2\sqrt 3n)^2-4\cdot\dfrac 12\cdot(3n-1)}}{\dfrac 12}=2\sqrt{12n^2-6n+2}.$$另一方面，用底边 $AB$ 和 $AB$ 上的高计算 $\triangle PAB$ 的面积为$$\dfrac 12\cdot \sqrt{1+1^2}\cdot |x_1-x_2|\cdot \dfrac{|\sqrt 2-\sqrt 2+\sqrt 3|}{\sqrt {1^2+1^2}}=2,$$解得 $|x_1-x_2|=\dfrac{4\sqrt 3}3$．
这样就有$$|x_1-x_2|=2\sqrt{12n^2-6n+2}=\dfrac{4\sqrt 3}3,$$即$$18n^2-9n+1=0,$$解得 $n=\dfrac 13$（舍去 $n=\dfrac 16$），进而 $m=\dfrac 16$，因此椭圆 $C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
