有“黄河源头第一县”之称的青海省果洛藏族自治州玛多县，被称作“千湖之县”，受连续干旱影响，该县有数百个湖泊相继干涸，且鼠害十分猖獗，草原在加速退化，每年因鼠害造成的退化面积达 $20\%$，按这样的退化速度，自 $2005$ 年起，经过 \((\qquad)\) 草原的退化总面积将开始超过 $2005$ 年草原总面积的一半．
【难度】
【出处】
2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $2005$ 年的草原总面积为单位 $1$，设经过 $m$ 年后，草原的面积退化超过 $\dfrac 12$，即$$\dfrac 15 +\dfrac 15 \cdot \dfrac{4}{5}+\dfrac 15\cdot \left(\dfrac 45\right)^2+\cdots +\dfrac 15 \cdot \left(\dfrac 45\right)^{m-1}>\dfrac 12,$$即$$\left(\dfrac 45\right)^m<\dfrac 12,$$当 $m=3$ 时，$\left(\dfrac 45\right)^3=\dfrac{64}{125}>\dfrac 12$；
当 $m=4$ 时，$\left(\dfrac 45\right)^4=\dfrac{256}{625}<\dfrac 12$，故最多经过 $4$ 年，草原退化总面积就会超过 $2005$ 年草原总面积的一半．
当 $m=4$ 时，$\left(\dfrac 45\right)^4=\dfrac{256}{625}<\dfrac 12$，故最多经过 $4$ 年，草原退化总面积就会超过 $2005$ 年草原总面积的一半．
题目
答案
解析
备注
