设函数 $f\left(x\right) = a\ln x + \dfrac{x - 1}{x + 1}$，其中 $a$ 为常数．
【难度】
【出处】
2014年高考山东卷（文）
【标注】
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若 $a = 0$，求曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $\left(1,f\left(1\right)\right)$ 处的切线方程；标注答案略解析当 $a=0$ 时，$f(x)=\dfrac{x-1}{x+1},x>0$，其导函数$$f'(x)=\dfrac{2}{(x+1)^2},x>0,$$因此 $f(1)=0$，$f'(1)=\dfrac 12$，从而曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为$$y=\dfrac 12(x-1),$$即 $x-2y-1=0$．
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讨论函数 $f\left(x\right)$ 的单调性．标注答案当 $a\leqslant -\dfrac 12$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减；
当 $-\dfrac 12<a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,x_1)$ 上单调递减，在 $(x_1,x_2)$ 上单调递增，在 $\left(x_2,+\infty \right)$ 上单调递减，其中$$x_1=\dfrac{-(a+1)+\sqrt{2a+1}}{a},x_2=\dfrac{-(a+1)-\sqrt{2a+1}}{a};$$当 $a\geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增解析函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{ax^2+2(a+1)x+a}{x(x+1)^2},x>0,$$设 $h(x)=ax^2+2(a+1)x+a$，则 $h(0)=a$，
判别式 $\Delta=4(2a+1)$，因此按 $a$ 与 $-\dfrac 12,0$ 的大小关系讨论．情形一 $a\leqslant -\dfrac 12$．此时 $\Delta\leqslant 0$，因此在 $(0,+\infty )$ 上 $h(x)\leqslant 0$，于是 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减；情形二 $-\dfrac 12<a<0$．此时 $h(0)<0$，对称轴 $x=-1-\dfrac 1a>0$，$\Delta>0$，因此 $h(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上有两个零点$$x_1=\dfrac{-(a+1)+\sqrt{2a+1}}{a},x_2=\dfrac{-(a+1)-\sqrt{2a+1}}{a},$$于是函数 $f(x)$ 在 $(0,x_1)$ 和 $(x_2,+\infty )$ 上单调递减，在 $(x_1,x_2)$ 上单调递增；情形三 $a\geqslant 0$ 时，此时在 $(0,+\infty )$ 上 $h(x)\geqslant 0$，因此 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增．
综上所述，当 $a\leqslant -\dfrac 12$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减；
当 $-\dfrac 12<a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,x_1)$ 上单调递减，在 $(x_1,x_2)$ 上单调递增，在 $\left(x_2,+\infty \right)$ 上单调递减，其中$$x_1=\dfrac{-(a+1)+\sqrt{2a+1}}{a},x_2=\dfrac{-(a+1)-\sqrt{2a+1}}{a};$$当 $a\geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
