已知 $P$ 为双曲线 $H:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上的任意一点，双曲线 $H$ 上在点 $P$ 处的切线与双曲线的两条渐近线分别交于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点，求 $\triangle AOB$ 外接圆圆心的轨迹方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{x^2}{\left(\dfrac{a^2+b^2}{2a}\right)^2}-\dfrac{y^2}{\left(\dfrac{a^2+b^2}{2b}\right)^2}=1$
【解析】
设 $P\left(\dfrac{a}{\cos\theta},\dfrac{b\sin\theta}{\cos\theta}\right)$，则双曲线 $H$ 在 $P$ 处的切线方程为$$\dfrac{x}{a\cos\theta}-\dfrac{y\sin\theta}{b\cos\theta}=1,$$分别与渐近线方程 $\dfrac xa-\dfrac yb=0$ 和 $\dfrac xa+\dfrac yb=0$ 联立可得$$A\left(\dfrac{a\cos\theta}{1-\sin\theta},\dfrac{b\cos\theta}{1-\sin\theta}\right),B\left(\dfrac{a\cos\theta}{1+\sin\theta},-\dfrac{b\cos\theta}{1+\sin\theta}\right),$$于是线段 $OA$，$OB$ 的垂直平分线方程分别为$$2ax+2by=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)\cos\theta}{1-\sin\theta},2ax-2by=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)\cos\theta}{1+\sin\theta},$$从而 $\triangle AOB$ 外接圆的圆心为$$\left(\dfrac{a^2+b^2}{2a\cos\theta},\dfrac{\left(a^2+b^2\right)\sin\theta}{2b\cos\theta}\right),$$其轨迹方程为$$\dfrac{x^2}{\left(\dfrac{a^2+b^2}{2a}\right)^2}-\dfrac{y^2}{\left(\dfrac{a^2+b^2}{2b}\right)^2}=1.$$
答案
解析
备注
