已知 $0<a\leqslant 1$，$x>0$，求证：${\rm e}^{ax}-1+\ln(x+1)>2ax$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
原命题等价于$$\forall a\in (0,1],x\in (0,+\infty),{\rm e}^x-1+\ln\left(\dfrac 1ax+1\right)>2x,$$因此只需要证明$$\forall x>0,{\rm e}^x-1+\ln (x+1)>2x.$$事实上，容易证明$$\forall x>0,{\rm e}^x>\dfrac 12x^2+x+1,$$于是$${\rm e}^x-1+\ln(x+1)-2x>\dfrac 12x^2+x+\ln(x+1)-2x,$$记右侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数$$\varphi'(x)=x+1+\dfrac{1}{x+1}-2>0,$$于是 $\varphi(x)$ 单调递增，进而当 $x>0$ 时有$$\varphi(x)>\varphi(0)=0,$$原命题得证．
答案
解析
备注
