证明：$\ln\left(2+\sqrt 3\right)>3-\sqrt 3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们熟知当 $x>1$ 时，$\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1}$，于是当 $x>1$ 时，有$$\ln \sqrt x>\dfrac{2\left(\sqrt x-1\right)}{\sqrt x+1},$$即$$\ln x >\dfrac{4\left(\sqrt x-1\right)}{\sqrt x+1}.$$这样就有$$\ln\left(2+\sqrt 3\right)>\dfrac{4\left(\sqrt{2+\sqrt 3}-1\right)}{\sqrt {2+\sqrt 3}+1}=\dfrac{ 4\left(\sqrt 3+1-\sqrt 2\right)}{\sqrt 3+1+\sqrt 2}.$$接下来我们用分析法证明$$4\left(\sqrt 3+1-\sqrt 2\right)>\left(\sqrt 3+1+\sqrt 2\right)\left(3-\sqrt 3\right),$$即$$2\sqrt 3+\sqrt 6>7\sqrt 2-4,$$也即$$18+12\sqrt 2>114-56\sqrt 2,$$也即$$17\sqrt 2=\sqrt{578}>\sqrt{576}=24.$$因此原命题得证．
答案
解析
备注
