三棱锥的三个侧面都是直角三角形，且三个直角的顶点恰是三棱锥的顶点，则其底面一定是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
记题中所描述的三棱锥为 $D-ABC$，且设 $\angle ADB=\angle BDC=\angle CDA=\dfrac{\pi}{2}$，$AD=a$，$BD=b$，$CD=c$．因为$$\begin{cases} AB^2=a^2+b^2,\\
AC^2=a^2+c^2,\\
BC^2=b^2+c^2,\end{cases}$$所以$$\cos\angle ACB=\dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2 AC\cdot BC}>0,$$同理$$\cos \angle BAC>0,\cos\angle ABC>0,$$所以 $\angle ACB$，$\angle BAC$，$\angle ABC$ 都是锐角，故底面三角形只能是锐角三角形，C选项正确．
AC^2=a^2+c^2,\\
BC^2=b^2+c^2,\end{cases}$$所以$$\cos\angle ACB=\dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2 AC\cdot BC}>0,$$同理$$\cos \angle BAC>0,\cos\angle ABC>0,$$所以 $\angle ACB$，$\angle BAC$，$\angle ABC$ 都是锐角，故底面三角形只能是锐角三角形，C选项正确．
题目
答案
解析
备注
