已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}= 1\left(a > b > 0\right)$ 的左焦点为 $F\left( - 2,0\right)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 6}{3}$．
【难度】
【出处】
2014年高考四川卷（文）
【标注】
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求椭圆 $C$ 的标准方程；标注答案$\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}2=1$解析根据题意，半焦距 $c=2$，离心率 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt 6}3$，于是 $a=\sqrt 6$，进而$$b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt 2,$$因此椭圆 $C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}2=1$．
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设 $O$ 为坐标原点，$T$ 为直线 $x=-3$ 上一点，过 $F$ 作 $TF$ 的垂线交椭圆于 $P,Q$．当四边形 $OPTQ$ 是平行四边形时，求四边形 $OPTQ$ 的面积．标注答案$2\sqrt 3$解析设 $T(-3,t)$，$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，线段 $PQ$ 的中点为 $M$，连接 $OT$，如图．
四边形 $OPTQ$ 是平行四边形即 $OT$ 与 $PQ$ 互相平分，于是取 $M\left(-\dfrac 32,\dfrac 12t\right)$．此时直线 $PQ$ 的斜率$$\dfrac 1t=\dfrac{\dfrac 12t-0}{-\dfrac 32-(-2)},$$解得$$t=\pm 1.$$不妨设 $PQ:x=y-2$，与椭圆方程联立，得$$2y^2-2y-1=0,$$于是由弦长公式，有$$|PQ|=\sqrt{1+1^2}\cdot\dfrac{\sqrt{12}}2=\sqrt 6,$$原点 $O$ 到直线 $PQ$ 的距离 $h=\dfrac 2{\sqrt 2}=\sqrt 2$，从而四边形 $OPTQ$ 的面积为$$|PQ|\cdot h=2\sqrt 3.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
