设 $x,y,z>0$，求证：$\dfrac 18(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant \dfrac 13(x+y+z)(xyz)^{\frac 23}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $x+y+z=1$，则由$$(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz,$$可得原不等式等价于$$xy+yz+zx-xyz\geqslant \dfrac 83\left(xyz\right)^{\frac 23}.$$由排序不等式知$$\left(xy+yz+zx\right)^2\geqslant 3\sum_{cyc}(xy^2z)=3xyz\sum_{cyc}x=3xyz,$$于是只需要证明$$\sqrt{3xyz}-xyz\geqslant \dfrac 83\left(xyz\right)^{\frac 23},$$也即$$\dfrac 83\left(xyz\right)^{\frac 16}+\left(xyz\right)^{\frac 12}\leqslant \sqrt 3.$$而$$\left(xyz\right)^{\frac 13}\leqslant \dfrac{x+y+z}3=\dfrac 13,$$于是上述不等式成立，原不等式得证．
答案
解析
备注
