题目 证明： 问题1 ${\rm e}<1+\sqrt 3$； 答案1 略 解析1 我们熟知$$\ln\dfrac{1+x}{1-x}>2\left(x+\dfrac{x^3}3+\dfrac{x^5}5\right),$$于是令 $x=2\sqrt 3-3$，就有\[\begin{split} \ln \left(1+\sqrt 3\right)&>2\left[(2\sqrt 3 -3)+\dfrac 13(2\sqrt 3-3)^3+\dfrac 15(2\sqrt 3-3)^5\right]\\<br/>&=\dfrac 25\left(-5883+3398\sqrt 3\right)\\<br/>&>1,\end{split}\]于是不等式得证． 备注1 也可以利用 ${\rm e}<\left(1+\dfrac 1n\right)^{n+1}$，二项式展开后放缩． 问题2 $\dfrac{1}{\sqrt 7}+\dfrac{1}{\sqrt 8}<\dfrac{2}{\rm e}$． 答案2 略 解析2 利用均值不等式，有\[\begin{split} \dfrac{2}{\dfrac{1}{\sqrt 7}+\dfrac{1}{\sqrt 8}}&>\sqrt{\dfrac{2}{\dfrac 17+\dfrac 18}}=\sqrt{\dfrac{112}{15}}=\sqrt{4+2\cdot\sqrt{\dfrac{676}{225}}}\\<br/>&>\sqrt{4+2\sqrt 3}=1+\sqrt 3>{\rm e},\end{split}\]于是不等式得证． 备注2