已知 $x>0$，求证：${\rm e}^x-x^2-2x+2>0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $f(x)={\rm e}^x-x^2-2x+2$，则$$f'(x)={\rm e}^x-2x-2,$$于是函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(2,+\infty)$ 上单调递增．结合$$f(1)={\rm e}-1>0,f(2)={\rm e}^2-6>0,$$可得命题对 $x\in (0,1)$ 和 $x\in (2,+\infty)$ 成立．
接下来证明命题在 $x\in (1,2)$ 时也成立．容易证明当 $x\in (1,2)$ 时，有$${\rm e}^x>\dfrac 12{\rm e}(x-1)^2+{\rm e}(x-1)+{\rm e}.$$接下来证明在区间 $(1,2)$ 上，有$$\dfrac 12{\rm e}(x-1)^2+{\rm e}(x-1)+{\rm e}>x^2+2x-2,$$即$$({\rm e}-2)x^2-4x+{\rm e}+4>0,$$其判别式$$\Delta=16-4({\rm e}-2)({\rm e}+4)<0,$$因此命题得证．
综上，原命题成立．
接下来证明命题在 $x\in (1,2)$ 时也成立．容易证明当 $x\in (1,2)$ 时，有$${\rm e}^x>\dfrac 12{\rm e}(x-1)^2+{\rm e}(x-1)+{\rm e}.$$接下来证明在区间 $(1,2)$ 上，有$$\dfrac 12{\rm e}(x-1)^2+{\rm e}(x-1)+{\rm e}>x^2+2x-2,$$即$$({\rm e}-2)x^2-4x+{\rm e}+4>0,$$其判别式$$\Delta=16-4({\rm e}-2)({\rm e}+4)<0,$$因此命题得证．
综上，原命题成立．
答案
解析
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