设 $a,b,c\geqslant 0$，且 $a+b+c=3$，求 $\dfrac{a^4}{b^2+c}+\dfrac{b^4}{c^2+a}+\dfrac{c^4}{a^2+b}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 32$
【解析】
由柯西不等式，有$$\sum_{cyc}\dfrac{a^4}{b^2+c}\geqslant \dfrac{\left(\sum_{cyc}a^2\right)^2}{\sum_{cyc}a^2+3},$$而由柯西不等式知$$\sum_{cyc}a^2\geqslant \dfrac 13\left(\sum_{cyc}a\right)^2=3,$$于是$$\dfrac{\left(\sum_{cyc}a^2\right)^2}{\sum_{cyc}a^2+3}\geqslant \dfrac 32,$$等号当 $a=b=c=1$ 时取得．因此所求的最小值为 $\dfrac 32$．
答案
解析
备注
