已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $\dfrac{a_{n+1}+a_n-1}{a_{n+1}-a_n+1}=n$，其中 $n\in \mathbb N^*$，且 $a_2=6$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a_n=n(2n-1)$，$n\in\mathbb N^*$
【解析】
根据已知，不难推得$$a_{n+1}=\dfrac{n+1}{n-1}a_n-\dfrac{n+1}{n-1},n=2,3,\cdots$$且 $a_1=1$．对于 $a_n=f(n)\cdot a_{n-1}+g(n)$ 类型的递推公式，也可以和裂项法类似的设法拆项，设$$f(n)=\dfrac{h(n)}{h(n-1)},$$此时递推公式可以改写为$$\dfrac{a_n}{h(n)}=\dfrac{a_{n-1}}{h(n-1)}+\dfrac{g(n)}{h(n)},$$即可构造辅助数列．
注意到$$\dfrac{n+1}{n-1}=\dfrac{(n+1)\cdot n}{n\cdot (n-1)},$$于是可得$$\dfrac{a_{n+1}}{n(n+1)}=\dfrac{a_n}{(n-1)n}-\dfrac 1{(n-1)n},$$设 $b_{n}=\dfrac {a_{n}}{(n-1)\cdot n},n\geqslant 2$，则$$b_{n+1}=b_n-\dfrac 1{(n-1)\cdot n},$$于是累加可得$$b_n=\dfrac {2n-1}{n-1},n=2,3,\cdots$$从而$$a_n=n(2n-1),n=2,3,\cdots$$又 $a_1=1$ 符合该式，所以 $a_n=n(2n-1)$，$n\in\mathbb N^*$．
注意到$$\dfrac{n+1}{n-1}=\dfrac{(n+1)\cdot n}{n\cdot (n-1)},$$于是可得$$\dfrac{a_{n+1}}{n(n+1)}=\dfrac{a_n}{(n-1)n}-\dfrac 1{(n-1)n},$$设 $b_{n}=\dfrac {a_{n}}{(n-1)\cdot n},n\geqslant 2$，则$$b_{n+1}=b_n-\dfrac 1{(n-1)\cdot n},$$于是累加可得$$b_n=\dfrac {2n-1}{n-1},n=2,3,\cdots$$从而$$a_n=n(2n-1),n=2,3,\cdots$$又 $a_1=1$ 符合该式，所以 $a_n=n(2n-1)$，$n\in\mathbb N^*$．
答案
解析
备注
