已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $\dfrac{a_{n+1}+a_n-1}{a_{n+1}-a_n+1}=n$，其中 $n\in \mathbb N^*$，且 $a_2=6$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a_n=n(2n-1)$，$n\in\mathbb N^*$
【解析】
根据已知，不难推得$$a_{n+1}=\dfrac{n+1}{n-1}a_n-\dfrac{n+1}{n-1},n=2,3,\cdots$$且 $a_1=1$．原式整理可得$$(n-1)a_{n+1}=(n+1)a_n-(n+1),$$可以设法将右侧多出来的 $n+1$ 进行裂项：$$(n-1)\cdot [a_{n+1}+k(n+1)+b]=(n+1)\cdot [a_n+kn+b],$$即$$(n-1)a_{n+1}=(n+1)a_n+kn+2b+k,$$比较系数，可得 $k=-1\land b=0$．因此$$\dfrac{a_{n+1}-(n+1)}{a_n-n}=\dfrac{n+1}{n-1},n\geqslant 2$$利用累乘法即可求得 $a_n=n(2n-1)$．再验证 $a_1$ 即可．
答案
解析
备注
