已知 $a,b>0$，$n\in\mathbb N^*$，求证：$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+2b}+\cdots +\dfrac{1}{a+nb}<\dfrac{n}{\sqrt{\left(a+\dfrac 12b\right)\left(a+\dfrac{2n+1}2b\right)}}.$$
【难度】
【出处】
2008年浙江大学自主招生保送生测试试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} LHS&=\sum_{i=1}^n\dfrac{2}{\left(a+\dfrac{2i+1}2b\right)+\left(a+\dfrac{2i-1}2b\right)}\\&<\sum_{i=1}^n\dfrac{\ln\left(a+\dfrac{2i+1}2b\right)-\ln\left(a+\dfrac{2i-1}2b\right)}{b}\\&=\dfrac{\ln\left(a+\dfrac {2n+1}2b\right)-\ln\left(a+\dfrac 1b\right)}{b}\\&=n\cdot \dfrac{\ln\left(a+\dfrac {2n+1}2b\right)-\ln\left(a+\dfrac 1b\right)}{\left(a+\dfrac{2n+1}2b\right)-\left(a+\dfrac 12b\right)}\\&<\dfrac{n}{\sqrt{\left(a+\dfrac 12b\right)\left(a+\dfrac{2n+1}2b\right)}}=RHS,\end{split}\]因此原不等式得证．
答案
解析
备注
