已知对任何实数 $x,y$，不等式$$ax^2y^2+x^2+y^2-3xy+a-1\geqslant 0$$恒成立，求常数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)$
【解析】
利用对称进行配方，将变元"扼杀"在平方式中；注意到变元对称，于是不等式可以变形为$$a\left(xy-\dfrac{1}{2a}\right)^2+(x-y)^2-\dfrac{1}{4a}+a-1\geqslant 0,$$其中 $a\neq 0$（当 $a=0$ 时显然不符合题意）．进而可得$$\begin{cases}a>0,\\-\dfrac{1}{4a}+a-1\geqslant 0,\end{cases}$$解得常数 $a$ 的取值范围为 $\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)$．
答案
解析
备注
