已知对任何实数 $x,y$，不等式$$ax^2y^2+x^2+y^2-3xy+a-1\geqslant 0$$恒成立，求常数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)$
【解析】
考虑到变元独立，因此可以考虑将某个元视为主元，转化为二次函数简化问题；视 $x$ 为主元，则$$\forall x\in\mathbb R,\left(ay^2+1\right)\cdot x^2-3y\cdot x+y^2+a-1\geqslant 0,$$等价于$$\Delta_1 =9y^2-4\left(ay^2+1\right)\left(y^2+a-1\right)\leqslant 0,$$整理后问题等价转化为$$\forall y\in\mathbb R,4ay^4+\left(4a^2-4a-5\right)y^2+4(a-1)\geqslant 0$$令 $t=y^2$，则问题转化为$$\forall t\geqslant 0,4at^2+\left(4a^2-4a-5\right)t+4(a-1)\geqslant 0.$$容易推得 $a>0$．记左侧为 $g(t)$，则该二次函数的对称轴为 $t=-\dfrac{4a^2-4a-5}{8a}$，于是 $a$ 的取值范围由$$\begin{cases}-\dfrac{4a^2-4a-5}{8a}\leqslant 0,\\g(0)\geqslant 0\end{cases}\lor\begin{cases}-\dfrac{4a^2-4a-5}{8a}>0,\\\Delta_2\leqslant 0,\end{cases}$$确定，解得常数 $a$ 的取值范围为 $\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)$．
答案
解析
备注
