已知对任何实数 $x,y$，不等式$$ax^2y^2+x^2+y^2-3xy+a-1\geqslant 0$$恒成立，求常数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)$
【解析】
考虑分离变量，将含参函数转化为不含参的函数简化问题．分离变量，问题等价于$$\forall x,y\in\mathbb R,a\geqslant \dfrac{-x^2-y^2+3xy+1}{x^2y^2+1},$$于是转化为求 $\dfrac{-x^2-y^2+3xy+1}{x^2y^2+1}$ 的最大值．事实上，我们有\[\begin{split}\dfrac{-x^2-y^2+3xy+1}{x^2y^2+1}&\leqslant \dfrac{xy+1}{(xy)^2+1}\\&=\dfrac{xy+1}{(xy+1)^2-2(xy+1)+2}\\&=\dfrac{1}{(xy+1)+\dfrac 2 {xy+1} -2}\\&\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt 2-2}=\dfrac{1+\sqrt 2}{2},\end{split}\]等号当 $x=y\land xy+1=\sqrt 2$ 时取得，于是常数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)$．
答案
解析
备注
