设函数 $f\left(x\right)=x^2-ax+b$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
讨论函数 $f\left(\sin x\right)$ 在 $\left(-\dfrac{\mathrm \pi} {2},\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right)$ 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；标注答案当 $a\leqslant -2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2\right)$ 上单调递增，没有极值；
当 $-2<a<2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\dfrac\pi 2,\arcsin \dfrac a2\right)$ 上单调递减，在 $\left(\arcsin\dfrac a2,\dfrac\pi 2\right)$ 上单调递增，有极小值 $b-\dfrac{a^2}4$；
当 $a\geqslant 2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2\right)$ 上单调递减，没有极值解析考虑复合函数的单调性，有
当 $a\leqslant -2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2\right)$ 上单调递增，没有极值；
当 $-2<a<2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\dfrac\pi 2,\arcsin \dfrac a2\right)$ 上单调递减，在 $\left(\arcsin\dfrac a2,\dfrac\pi 2\right)$ 上单调递增，有极小值 $b-\dfrac{a^2}4$；
当 $a\geqslant 2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2\right)$ 上单调递减，没有极值． -
记 $f_0\left(x\right)=x^2-a_0x+b_0$，求函数 $\left|f\left(\sin x\right)-f_0(\sin x) \right|$ 在 $\left[-\dfrac{\mathrm \pi} {2},\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right]$ 上的最大值 $D$；标注答案$\left|a-a_0\right|+\left|b-b_0\right|$解析令 $t=\sin x$，$x\in\left[-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2\right]$，则 $t\in [-1,1]$，且\[\begin{split}\left|f(\sin x)-f_0(\sin x)\right|&=\left|(a_0-a)t+b-b_0\right|\\&\leqslant \left|a-a_0\right|\cdot |t|+\left|b-b_0\right|\\&\leqslant\left|a-a_0\right|+\left|b-b_0\right|,\end{split}\]第一处等号当 $(a_0-a)t$ 与 $b-b_0$ 同号时可以取得，第二处等号当 $t=\pm 1$ 时可以取得．
显然两处等号可以同时取得，因此最大值 $D$ 为 $\left|a-a_0\right|+\left|b-b_0\right|$． -
在（2）中，取 $a_0=b_0=0$，求 $z=b-\dfrac{a^2}{4}$ 满足条件 $D\leqslant1$ 时的最大值．标注答案$1$解析根据题意，$|a|+|b|\leqslant 1$，此时$$z=b-\dfrac{a^2}4\leqslant b\leqslant |b|\leqslant 1,$$当 $a=0$ 且 $b=1$ 时，等号均能取得．因此 $z$ 的最大值为 $1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
