设 $a,b>0$，记 $H=\dfrac{2ab}{a+b}$，$G=\sqrt{ab}$，$A=\dfrac{a+b}2$，$Q=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：$H\leqslant G\leqslant A\leqslant Q$；标注答案略解析先证明 $G\leqslant A$，因为$$A-G=\dfrac 12(\sqrt a-\sqrt b)^2\geqslant 0,$$所以命题得证；于是有$$H=\dfrac {2ab}{a+b}\leqslant \dfrac {2ab}{2\sqrt{ab}}=\sqrt{ab}=G.$$最后证 $A\leqslant Q$，两方平方得即证明$$(a+b)^2\leqslant 2(a^2+b^2)\iff 2ab\leqslant a^2+b^2,$$所以不等式得证．
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求证：$G-H\leqslant Q-A\leqslant A-G$．标注答案略解析一方面，$G-H\leqslant Q-A$ 即 $A-H\leqslant Q-G$，也即$$\dfrac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}\leqslant \dfrac{\dfrac{a^2+b^2}2-ab}{\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}2}+\sqrt{ab}},$$即$$\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}2}+\sqrt{ab}\leqslant a+b,$$也即$$Q+G\leqslant 2A.$$另一方面，由于 $\dfrac{a+b}2\leqslant \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}2}$，于是$$\dfrac{\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}2}+\sqrt{ab}}2\leqslant \sqrt{\dfrac{\dfrac{a^2+b^2}2+ab}{2}}=\dfrac{a+b}2,$$于是 $Q+G\leqslant 2A$．
综上所述，原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
